中考压轴｜几何动态问题系列（6）—正方形相关

Original 永泰一中张祖冬陪伴成长中的孩子 2022-07-16

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【例1】如图，正方形ABCD中，E是BD上一点，AE的延长线交CD于F，交BC的延长线于G，M是FG的中点．（1）求证：①∠1=∠2；②EC⊥MC．（2）直接写出：当∠1等于多少度时，△ECG为等腰三角形．

【图文解析】(1)①根据”正方形(是特殊的菱形)的对角线平分一组对角”可得∠ADE=∠CDE，然后利用SAS可证得△ADE≌△CDE，得到∠1＝∠2.如下图示：

②根据“两直线平行（AD∥BC），内错角相等”可得∠1=∠G，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得MC=MG，进一步得到∠G=∠3，且∠1＝∠2（上述①的结论），所以∠2=∠3，因此可得到：∠ECM＝∠2+∠4＝∠3+∠4＝∠DCG＝90⁰，从而EC⊥MC，如下图示：

(2)如下图示，根据题意，不难得到∠ECG＝∠2+∠DCG＞90⁰，因此若三角形ECG是等腰三角形，只能是CE＝CG，即只能∠G＝∠5这一种情况.

若设∠1＝∠2＝∠G＝∠5＝x⁰，则在△CEF中，可得到∠6＝∠2+∠5＝2x⁰，进一步，得到：（如下图示）

x+2x=90，解得：x=30.即当∠1＝30⁰时，△ECG为等腰三角形.【拓展1】正方形ABCD中，E是BD上一点，AE的延长线交CD的延长线于F，交BC于G，M是FG的中点．
(1)画出图形，并证明：①∠DAE=∠DCE；②EC⊥MC．（2）直接写出：当∠DAE等于多少度时，△ECG为等腰三角形．【答案】符合条件的图形如下：

(1)思路与例题类似；（2）∠1＝60⁰.【拓展2】正方形ABCD中，E是BD的延长线上的一点，直线AE交直线CD于F，交CB的延长线于G，M是FG的中点．（图中的∠1为∠DAG.（1）画出符合条件的图形，并解答下列问题：①找出∠DAG与∠DCE的有关系；②EC与MC的位置关系．（2）直接写出：当∠DAG等于多少度时，△ECG为等腰三角形．【答案】符合条件的图形如下：

（1）思路与例题类似；结论∠1+∠2＝180⁰；（2）∠1＝150⁰.【拓展3】正方形ABCD中，E是BD的延长线上的一点，直线AE交直线CD于F，交CB的延长线于G，M是FG的中点．直接写出：当∠BAF＝______度时，△ECG为等腰三角形．（请先画出符合条件的图形）

【例2】如图，正方形ABCD中，M为BC上除点B、C外的任意一点，△AMN是等腰直角三角形，斜边AN与CD交于点F，延长AN与BC的延长线交于点E，连接MF、CN．（1）求证：BM+DF=MF；（2）求∠NCE的度数．

【图文解析】（1）此类问题常用解法是：“取长补短”法，延长CD至G使DG=BM，将BM+DF转化到一条线段GF上，如下图示：

先证明△ADG≌△ABM，得AM＝AG且∠1＝∠2，进一步，得∠DAM＝∠2+∠DAM＝∠1+∠DAM＝∠BAD＝90⁰.又因△AMN是等腰直角三角形，可得到∠3＝45⁰，又可得∠3＝∠4＝45⁰，如下图示：

可证得△AMF≌△AGF，所以MF=GF.综上，可得BM+DF=MF.当然本题也可通过“旋转”（即将△ABM绕A点逆时针旋转90度），得到△ADG，证法类似.（2）由于∠AMN＝90⁰（△AMN是等腰直角三角形），不难得到如下图示的“辅助线”，即过点N作NH⊥EB于H，如下图示：

不难证得△MHN≌△ABM，得到NH＝BM，AB＝MH＝BC，进一步MH＝CM+CH＝CM+BM＝BC，又可得到CH＝BM，因此NH＝CH，从而得到△CHN是等腰直角三角形，因此∠NCE＝45⁰.【拓展1】正方形ABCD中，M为CB延长线上的任意一点，△AMN是等腰直角三角形，斜边AN与BC交于点E，与DC的延长线交于点F，连接MF、CN．请画出符合条件的图形，并解答：
（1）求证：DF－BM =MF；（2）求∠NCE的度数．【解法提示】符合条件的图形如下：

【拓展2】如图，正方形ABCD中，M为BC延长线上的任意一点，△AMN是等腰直角三角形，斜边AN与直线BC交于点E，与CD的延长线交于点F，连接MF、CN．请画出符合条件的图形，并解答：（1）求证：BM－DF=MF；（2）求∠NCE的度数．【解法提示】符合条件的图形如下：

解法与答案均与原题相同.

【例3】如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上（点E与AB不重合），FGDE，FG与边BC相交于点F、与边DA的延长线相交于点G.猜想 BF、AG、AE的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论.

【图文解析】
三条线段（BF、AG、AE）均不在同一直线上，直接证明显然不可能，要想方设法让它们产生联系，尽量将其中两线段转化为同一直线上的一条线段，或者三条线段转化为同一个三角形中（这是解类似相关试题最常用的方法），然后通过全等或特殊三角形的相关结论进行证明。由于四边形ABCD为正方形，本身有着非常重要的结论，具备平移和旋转的相关性质，因此可以通过平移、旋转等方法将线段转化.方法一：添加如下图（左）示的辅助线（相当于将线段BF向左平移，得到BF+AG＝MG，接下来，再想方设法求出MG与AE的关系.

如下图（右）不难证得△DEG和△FMG全等，得到AE＝MG，从而BF+AG＝AE.方法二：过A点作AH∥FG交BC于G点（相当于将线段FG向上平移）.

方法三：延长DA至H，使AH＝AE（相当于将△ADE绕A点顺时针旋转90°得到△ABH）.如下图示.

方法四：纯计算法（适合九年级），如下图示，不难证得：∠1＝∠2＝∠3.

分别在Rt△ADE和Rt△ACE和Rt△EFB中，

方法五：可建立如下图示的坐标系，若不用九年级的方法，可能通过三次勾股定理，求得：AD＝a^2/b，再通过G、E点求出直线GE的解析式，进一步得到F的坐标，因此AG、BF、AE的长均可以a、b的代数式表示，…….（此法显然麻烦，但对对有关矩形、正方形、网格的类似试题等非常适用，解法通俗易懂，多数情况下解法还是最方便和快捷的（本文之前也类似的小文章）.

反思与变式：（1）在解相关矩形与正方形的问题时，通常可通过平移、旋转、对称的方法帮助解决，也可通过建立坐标系或三角函数进行解决，而往往用三角函数法解决起来最便捷。（2）变式1：若将试题中的”点E在边AB上“，改为”点E在直线AB上“，也同样有类似的结论(解法类似（但需要用到相似，试试看！）.

下面仅分别各给出一种不同的解题思路：

结论：BF－AG＝AE.

结论：AG－BF＝AE.

变式2　若将原正方形改为“两邻边AB：AD＝m：n”（m、n为常数）的矩形“呢？下图示.（适合九年级，思考一下！）

结论：AG＋BF＝m/n×AE.
当然，如果让点EAB的延长线或BA的延长线上，则：

结论：BF－AG＝m/n×AE.

结论：AG－BF＝m/n×AE.

【例4】如图，点C在线段BG上，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，面积分别是10和19，则△ADE的面积为　　．

【图文解析】

思路1：

思路2：

思路3：